费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜
西蒙•辛格
《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》，作者是西蒙·辛格（Simon Singh），薛密译。该书探讨了费马大定理的历史及其最终被证明的过程。文本包括目录、作者和译者简介、版权信息，以及部分序言和前言，还有第一章和第二章的开头部分。书中详细介绍了毕达哥拉斯定理、数学证明的演变，以及皮埃尔·德·费马的生平及其在数论和概率论方面的贡献，特别是费马大定理的提出及其对后世数学家的影响。文本还穿插了数学概念，如无理数和亲和数，并强调了数学的纯粹性和绝对性。
《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》由西蒙•辛格撰写，薛密翻译，是一本引人入胜的科普著作，讲述了数学史上最著名的谜题之一——费马大定理——的传奇故事，以及安德鲁·怀尔斯如何历经磨难最终将其证明的艰辛历程。该书不仅揭示了数学的深奥与美丽，更展现了数学家们追求真理的执着与激情。
以下是本书各章节的详细书评：
- 序言与前言
- 这两部分为读者勾勒了故事的背景：作者西蒙•辛格作为英国广播公司（BBC）《地平线》纪录片的制作人，首次与安德鲁•怀尔斯会面时，怀尔斯正面临其证明中发现缺陷的巨大压力。这促使辛格深入了解费马大定理的故事，并意识到它是一个“科学或学术事业中一个最动人的故事”。
- 序言强调了费马大定理的独特之处——它起源于古希腊，但却困扰了世间智者350多年，其问题本身极为简单易懂，但解答却异常艰难。前言则明确了本书的结构，将故事从古希腊的毕达哥拉斯时代讲起，直至安德鲁•怀尔斯在20世纪末的个人奋斗。作者承诺，即便不具备数学背景的读者，也能理解书中的核心概念。
- 第一章 “我想我就在这里结束”
- 本章以安德鲁•怀尔斯在1993年剑桥大学牛顿研究所宣布证明费马大定理的激动人心的时刻开篇，展示了数学界对这一成就的巨大期待。然而，也埋下了伏笔，暗示了其证明中即将被发现的“缺陷”。
- 章中回溯了怀尔斯十岁时在图书馆偶然读到埃里克•坦普尔•贝尔的《大问题》一书，被费马大定理的简洁表述和历史难题性深深吸引，萌生了解决它的梦想。
- 随后，深入介绍了费马大定理的“先驱”——毕达哥拉斯定理（x² + y² = z²）及其整数解（毕达哥拉斯三元组），解释了数学证明的理念。通过“缺损棋盘”问题，形象地阐释了数学证明的“绝对性”与科学证明的“相对性”之间的根本区别，强调了数学追求永恒真理的本质。
- 此外，本章还介绍了毕达哥拉斯对数的崇拜（如完满数）以及他发现音乐和声与数之间关系的故事，展现了数学与自然界规律的内在联系。
- 第二章 出谜的人
- 本章详细介绍了谜题的创造者——17世纪法国业余数学家皮埃尔•德•费马的生平与性格。费马作为图卢兹议院顾问的公务缠身，但却将闲暇时间全部投入到数学研究中。
- 辛格指出费马是一位“业余数学家之王”，他痴迷于发现新的定理，但却“固执地拒绝公布他的证明”。他惯于在给其他数学家（如笛卡尔、约翰•沃利斯）的信中只叙述结论而不提供证明，以此进行“挑逗”。
- 章中还介绍了费马在数学领域的其他重要贡献，包括与帕斯卡共同创立的概率论以及对微积分的奠基性工作（影响了牛顿）。
- 核心内容是费马大定理的诞生：费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》时，在书页空白处写下了那个著名的批注：“不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”。这一批注成为了困扰数学界300多年的谜题。本章也简要追溯了数论的演变，从亚历山大时期的欧几里得和丢番图，到中世纪的衰落与印度-阿拉伯数字的引入，以及文艺复兴时期的复兴。
- 第三章 数学史上暗淡的一页
- 本章详细描述了费马大定理提出后，几个世纪中无数数学家们失败的尝试。
- 莱昂哈德•欧拉：这位18世纪的“分析的化身”，通过引入“虚数”的概念，成功证明了费马大定理在 n=3 时的特例，这是第一个突破。欧拉的失明更衬托出他惊人的数学直觉和记忆力。本章还介绍了欧拉解决柯尼斯堡过桥问题和推导网络公式的趣闻。
- 索菲•热尔曼：一位在性别歧视严重的时代坚持研究数学的女性天才。她通过使用男性化名“勒布朗先生”与高斯通信，提出了“热尔曼质数”的概念，为证明费马大定理的某些质数特例（如n=5和n=7）奠定了基础。她的故事揭示了早期女性数学家所面临的巨大挑战。
- 奥古斯丁•路易斯•柯西和加布里尔•拉梅：这两位法国数学家在1847年各自声称已证明费马大定理，并提交了“盖章密封的信封”。然而，他们的证明很快被恩斯特•库默尔发现存在致命缺陷。库默尔指出，他们的证明依赖于“唯一因子分解性质”，但这个性质在他们引入的某些“虚数”域中并不成立。库默尔的工作揭示了费马大定理的难度远超想象，使得数学界陷入了“暗淡的一页”。
- 第四章 进入抽象
- 本章始于保罗•沃尔夫斯凯尔的传奇故事。这位德国实业家因数学而放弃自杀，并于1908年设立了 10万马克 的巨额奖金，以奖励第一个证明费马大定理的人。这笔奖金重新激发了业余数学家对该问题的兴趣。
- 章中通过萨姆•洛伊德的“14-15”智力玩具，引入了“不变量”的概念，解释了如何证明某些操作的“不可能”性。
- 然而，专业的数学家大多对此奖项不屑一顾，他们转而关注数学的基础问题。这引出了20世纪初伯特兰•罗素和库尔特•哥德尔的革命性工作。罗素的“悖论”（如图书馆管理员悖论）动摇了数学的逻辑基础，揭示了某些集合理论的内在矛盾。
- 哥德尔的“不可判定性定理”更是对数学界投下了重磅炸弹。他证明了在任何一个足够复杂的数学体系中，都存在既不能被证明也不能被否定的真命题，且其自身的一致性无法被证明。这引发了一个令人不安的猜测：费马大定理是否可能是一个“不可判定”的命题，即根本不存在证明？。
- 本章的另一个重要转折是年轻的安德鲁•怀尔斯在约翰•科茨的指导下攻读博士学位时，开始研究“椭圆曲线”——尽管当时他并未意识到这会成为日后解决费马大定理的关键工具。作者详细解释了“时钟算术”和“E-序列”（L-序列）的概念，它们是理解椭圆曲线“DNA”的关键。
- 第五章 反证法
- 本章是整个故事的核心转折点，介绍了谷山丰和志村五郎两位日本数学家在20世纪50年代提出的“谷山-志村猜想”。这个猜想提出一个惊人的联系：每一个“椭圆方程”都可以和一个“模形式”关联起来。
- 章中详细解释了“模形式”的概念，它们是具有极端对称性的四维数学对象，其“M-序列”是其独特的DNA。谷山-志村猜想的意义在于它架起了数学中两个看似不相关的领域之间的“桥梁”。
- 谷山丰的悲剧性自杀被详细记录，但志村五郎继承了他的事业，并致力于推广这一猜想。
- 最关键的突破发生在1984年，德国数学家格哈德•弗赖提出了“弗赖曲线”的概念。他大胆推测：如果费马大定理是错误的（即存在一个解），那么这个解会导出一个特定的“弗赖椭圆方程”。而这个弗赖椭圆方程是如此“古怪”，以至于它不可能是模形式。这意味着，如果谷山-志村猜想成立（即所有椭圆方程都是模形式），那么弗赖椭圆方程就不可能存在，进而费马大定理就必须是正确的。
- 弗赖的论断存在一个缺陷：他无法严格证明弗赖曲线的“古怪性”。直到1986年夏天，肯•里贝特才在与巴里•梅休尔的偶然谈话中获得了灵感，成功证明了弗赖曲线确实不可能是模形式。这使得弗赖的论断成为一个确凿的定理（里贝特定理），从而建立了费马大定理与谷山-志村猜想之间的“决定性联系”：证明谷山-志村猜想，就能证明费马大定理。这瞬间将费马大定理从一个边缘的谜题，推到了现代数论的中心。
- 第六章 秘密的计算
- 本章是故事的高潮部分，详细描述了安德鲁•怀尔斯在1986年得知里贝特成果后，决定秘密投入7年时间来证明谷山-志村猜想。他深知这将是一项巨大的挑战，但也是实现童年梦想的机会。
- 怀尔斯采取了“完全独立和保密”的研究策略，只向妻子内达透露其进展。他甚至通过定期发布不相关的“小论文”来掩盖其真实的研究方向。
- 他的主要策略是使用“归纳法”，将无限个椭圆方程与模形式的配对问题分解为有限序列的步骤。他巧妙地利用了19世纪数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦的“群论”，成功证明了归纳法的第一步。
- 本章也插叙了宫冈洋一在1988年错误宣布证明费马大定理的事件，这短暂地扰乱了怀尔斯，但也最终证明了他的方向是正确的。
- 怀尔斯在研究后期，遇到了一个关键难题，最终在1991年从科利瓦金和弗莱切的方法中获得了突破。他开始将这个方法推广到所有椭圆方程族。
- 在1993年初，怀尔斯首次向普林斯顿的同事尼克•凯兹透露了他的秘密，并以“椭圆曲线的计算”为名开设研究生课程，作为其证明的“秘密核查”。
- 最终，在1993年5月，怀尔斯认为自己已经完成了证明，并决定在6月于家乡剑桥的牛顿研究所的会议上宣布这一世纪性成果。他的三场演讲以极其低调的方式进行，但最终高潮迭起，随着最后结论的公布，引起了数学界的巨大轰动和媒体的广泛报道。
- 第七章 一点小麻烦
- 本章描绘了怀尔斯证明公布后的“灾难”。他的200页手稿被送交《数学发明》杂志进行严格的同行评审，由巴里•梅休尔主编，并安排了六位顶尖数学家进行逐章审查。
- 然而，在1993年8月，负责审查第三章的尼克•凯兹发现了证明中的一个“严重缺陷”。这个缺陷存在于证明关键的科利瓦金-弗莱切方法中，它意味着怀尔斯的论证无法完全保证从一个椭圆方程的某一项扩展到所有项。
- 怀尔斯陷入了长达14个月的煎熬，面对来自媒体和数学界日益增长的怀疑和压力。他拒绝公开有缺陷的手稿，独自在顶楼书房里苦苦修正。
- 本章还记录了哈佛大学的诺姆•埃尔基斯在1994年4月1日发出的一封“愚人节电邮”，谎称找到了费马大定理的反例，进一步加剧了数学界的恐慌，也给谣言制造者们上了一课。
- 怀尔斯在几近绝望之际，听从彼得•萨纳克的建议，邀请了前学生理查德•泰勒共同修正证明。
- 最终，在1994年9月19日，怀尔斯在回顾科利瓦金-弗莱切方法时，突然意识到他之前放弃的“岩沢理论”可以与科利瓦金-弗莱切方法完美结合，从而弥补了证明中的缺陷。这个灵光乍现的瞬间结束了他长达8年的苦苦求索，也终结了14个月的噩梦。他激动地告诉妻子内达他成功了。
- 第八章 大统一数学
- 本章以怀尔斯修正后的证明在1995年5月正式发表在《数学年刊》上开篇。这次，他的证明经过了彻底的核查，被数学界广泛接受。
- 辛格指出，怀尔斯的证明不仅解决了费马大定理，更重要的是它汇集了20世纪数论中的所有突破性工作，并将其融合成一个整体，创造了全新的数学技术，并为其他众多问题的解决开辟了新思路。肯•里贝特将其称之为“现代数学的完美综合”。
- 谷山-志村猜想的被证明，使得椭圆曲线和模形式这两个领域真正统一起来，并为更宏伟的“朗兰兹纲领”（统一所有主要数学课题的宏伟计划）迈出了第一步。怀尔斯也因此与朗兰兹共同分享了1996年的沃尔夫奖，并在1997年获得了沃尔夫斯凯尔奖。
- 章末讨论了费马大定理被解决后，关于费马本人是否真有“美妙的证明”的争议。并展望了未来的数学挑战，例如完满数、孪生质数猜想、哥德巴赫猜想和开普勒的球填装问题。
- 同时，本章也探讨了“计算机证明”的兴起（以四色问题为例）及其争议，强调了传统数学证明除了给出答案，更能提供对“为什么”的理解。
- 最后，怀尔斯表达了解决费马大定理后的“失落感”和“无比的轻松感”，因为他实现了童年时代的梦想，并结束了对一个问题长达8年的痴迷。
译后记 译者薛密在译后记中表达了对本书的赞赏，认为它不仅详细记述了费马大定理的传奇故事，更以生动的方式展现了数学家追求真理的执着和献身精神。他强调，本书使普通读者意识到数学是一个美丽且充满智力挑战的世界，并从中获得人生启示。
总而言之，《费马大定理》是一部关于人类智力、毅力、合作与竞争的史诗，它以引人入胜的叙事和严谨的科学精神，将一个枯燥的数学问题转化为扣人心弦的传奇故事，让读者在了解数学奥秘的同时，也体会到科学探索的悲喜交织。